Ich finde, man sollte sich bei der Namenswahl möglichst wenig von außen beeinflussen lassen.
Wenn euch der Name Heinrich gefällt und euch die Tradition gefällt, dann könnt ihr den Namen vergeben.
Wenn euch der Name nicht gefällt, dann würde ich mich von einer Tradition nicht dazu "verpflichten" lassen, bzw. ihn nur als stummen Zweitnamen vergeben.
Ich würde den Namen eher als Zweitname nehmen, oder eine modernere Variante von Heinrich (Hendrik, Henrik, Jandrik, Jendrik, Henning) vergeben.
Nun zum Namen:
HEINRICH
ist nicht mein Geschmack. Ich weiß, dass viele alte Namen derzeit im Kommen sind, aber anders als Emil, Oskar und Anton gehört Heinrich für mich (wie Wolfgang, Günter und Gustav) zu den Namen, die zu altbacken sind, um sie heute noch zu vergeben.
ERIK
gefällt mir sehr gut. Selten, kraftvoll, unkompliziert, zeitlos - passt immer.
HEINRICH ERIK
Die Kombination gefällt mir nicht sehr gut. Stilistisch passen die Namen zwar zusammen, aber 2 Punkte stören mich:
1) Beide Namen haben 2 Silben und werden auf der 1. Silbe betont. Das klingt für mich wenig nach einer Namenskombination, sondern eher nach einer Aufzählung. Noch schwieriger wird es, wenn ein 2-silbiger Nachname dazukommt. Heinrich Erik Müller klingt für mich eher nach einem pietistischen Theologen oder einem Kichenliederschreiber.
2) Die Namen sind einander sehr ähnlich. Rich und Rik sind im Grunde genommen dieselbe Silbe (zumal Erich ja auch ein recht bekannter Name ist). Und da Heinrich im Diphthong auch das E als Vorsilbe hat, verstärkt sich der Effekt.
Vorschläge meinerseits:
Henning Frederik -> Variante von Heinrich als Rufname und "Erik" im ZN, ohne dass es ein 2-silbiger Name ist
Oder als alternative ZN zu Heinrich/Hendrik/Henrik/Jandrik/Jendrik als Rufname, bzw. alternative Rufnamen für Heinrich als ZN:
Antonius
Benedikt
Benjamin
Christian
Christopher
Cornelius
Dominik/Domenik
Johannes
Jonathan
Julius
Konstantin
Korbinian
Leonard
Leopold
Nikolas
Sebastian
Severin
Joakim
Ferdinand
Friedolin
Nepomuk
Falk
Raik
Tjark
Nick
York
Birk
Arnd